基础数学示例

$\frac{\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11}}{\frac{9 k^{2} - 1}{3 k^{2} + 8 k - 11}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- 2 k$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$\frac{3 k^{2} - 2 (k) - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.2

把 $- 2$ 重写为 $1$ 加 $- 3$

$\frac{3 k^{2} + (1 - 3) k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$\frac{3 k^{2} + 1 k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.4

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 k^{2} + k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 k^{2} + k) - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{k (3 k + 1) - (3 k + 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 k + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 11 = 33$ 并且它们的和为 $b = 14$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $14 k$ 中分解出因数 $14$ 。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 (k) + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.2

把 $14$ 重写为 $3$ 加 $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + (3 + 11) k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 3 k + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(3 k^{2} + 3 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $k + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 4

分组因式分解。

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解题步骤 4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $8 k$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 (k) - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.1.2

把 $8$ 重写为 $- 3$ 加 $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + (- 3 + 11) k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} - 3 k + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(3 k^{2} - 3 k) + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k (k - 1) + 11 (k - 1)}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 4.3

通过因式分解出最大公因数 $k - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{9 k^{2} - 1}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

将 $9 k^{2}$ 重写为 ${(3 k)}^{2}$ 。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 k$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $3 k + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{k - 1}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

解题步骤 6.2

约去 $3 k + 11$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $(k + 1) (3 k + 11)$ 中分解出因数 $3 k + 11$ 。

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

解题步骤 6.2.2

从 $(k - 1) (3 k + 11)$ 中分解出因数 $3 k + 11$ 。

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{3 k - 1}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{k - 1}{k + 1}$ 乘以 $\frac{k - 1}{3 k - 1}$ 。

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

解题步骤 7

对 $k - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

解题步骤 8

对 $k - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

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